Bioestadística Notebook

Propiedades de la Esperanza Matemática

Estas propiedades son válidas tanto para variables discretas como continuas.

1.-El valor esperado de una constante es igual a ella misma.

                                              E(C)= C

          Ejemplo: X= {5} entonces E(X)= 5

2.-Si X e Y son variables aleatorias se cumple que:

                                    E(X+Y)= E(X)+E(Y)

Esto indica que el valor esperado de la suma de 2 variables aleatoria es igual a la suma de sus valores esperados.

Ejemplo:

E(X)=[(1.1/4)+(2.1/8)+(3.1/8)+(4.1/2)]

E(X)= 1/4+1/4+3/8+2

E(X)= 2,875

E(Y)=[(0.1/2)+(1.1/2)]

E(Y)=0+1/2

E(Y)= 0,5

Entonces E(X+Y)= 2,875+0,5 = 3,375

3.-El valor esperado del producto de una constante por una variable aleatoria es igual al producto de la constante por el valor esperado de la variable.

                                                    E(C.X)= C. E(X)

Ejemplo: Dados C= 5 y E(X)= 2,875  (valores hallados anteriormente)

E(C.X)= 5. 2,875

E(C.X)=14,375

4.-Si X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria, el valor esperado del producto de las variables es igual al producto de los valores esperados, solamente en el caso de que las variables X e Y sean independientes.

                                                   E(X.Y)= E(X). E(Y)

Ejemplo. Dado E(X)= 2,875, E(Y)= 0,5

E(X.Y)= 2,875. 0,5

E(X.Y)= 1,4375

Propiedades de la Varianza

NOTA: Las propiedades de la Varianza son las mismas para la Desviación Estándar, lo único que varia es que se le saca la raíz cuadrada a esta ultima.

1.-La varianza de una constante es cero.

                    Var(C)= 0

Ejemplo. Dado X{5}, E(X)=5 y P(X)=0.5

Var(X)= (5-5)². 0,5

Var(X)= 0

DE(X)=0

2.- La varianza del producto de una constante por una variable es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable.

               Var(C.X)= C². Var(X)

Ejemplo. Dado C=5

Var(X)= [((1-3,375)². 1/4)+((2-3,375)².1/8)+((3-3,375)².1/8)+((4-3,75)².1/2)]

Var(X)= 1,41+0,23+0,01+0,19

Var(X)= 1,84

Var(C.X)= 5². 1,84

Var(C.X)= 25.1,84

Var(C.X)=46

DE(C.X)=6,78

3.-Si X e Y son variables independientes

                                   Var(X+Y)= Var(X)+Var(Y)

Ejemplo. Dado Var(X)= 1,84 (valor hallado anteriormente)

Var(Y)= [((0-0,5)².1/2)+((1-0,5)².1/2)]

Var(Y)= 0,125+0,125

Var(Y)=0,25

Var(X+Y)=1,84+0,25

Var(X+Y)=2,09

DE(X+Y)= 1,44